Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm³ . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 € / cm² y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo

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Ejercicio 2. [2'5 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada

Ejercicio 3. [2'5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

x + 3y + z = 1

- x + y + 2z = - 1

ax + by + z = 4

tiene al menos dos soluciones distintas

Ejercicio 4. [2'5 puntos] Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos y +z = 1 e y - 3z + 3 = 0, y que sus otros dos vértices son A(2,0,1) y B(0,-3,0). Halla C y el área del triángulo ABC

(a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?

(c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f.

Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y las curvas y = x² e y = x²/2

Ejercicio 3. (a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A = tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?

(b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones . =

       y