| Enunciado del ejercicio nº 3 | solución del ejercicio nº 3 | Cuadro de Soluciones modelo de 2003 |
Enunciado del Ejercicio nº 3 de la opción A del modelo de 2003 |
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[ 2'5 puntos] Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de l : x+l y+z = 0 l x+y+z = 0 x+y+l z = 0
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Solución |
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Es un sistema homogéneo por tanto siempre tiene la solución trivial (x,y,z) = (0,0,0). Para uqe haya soluciones distintas de la trivial |A| =
1-l = 0 ® l = 1 l 2+l -2 = 0. Resolviendo la ecuación sale l = 1 y l = - 2. Si l ¹ 1 y l ¹ - 2, el sistema solo tiene la solución trivial. Veamos la resolución cuando l = 1 y l = - 2. Si l = 1 tenemos x+y+z = 0 x+y+z = 0 x+y+z = 0 que se reduce solo a la ecuación x+y+z = 0, pues las tres son iguales. Tomando y = l y z = m nos resulta x = -y-z = - l - m . La solución es (x,y,z) = (- l - m , l , m ) con l , m Î Â . Si l = -2 tenemos x-2y+z = 0 -2x+y+z = 0 x+y-2z = 0 Al ser |A| = 0, rango(A) < 3 y como x - 2 y = - z -2x + y = - z. Tomamos z = l , con lo cual -3y = -3z ® y = z = l , y también x-2l = -l ® x = l . Por tanto la solución en este caso es (x,y,z) = (l ,l ,l ) con l Î Â .
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= 0
= (1-l
2)(-1+l
) - (1-l
)(1-l
) = (1-l
)[-(1-l
2) - (1-l
)] = (1-l
)(l
2+l
-2) = 0 de donde
= 1+ 4 = 5 ¹
0, rango(A) = 2 con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas proincipales