Sea f la función definida para x ¹ - 2 por f(x) =

(a) [ 1 punto] Halla la s asíntotaas de la gráfica de f.

(b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f.

(c) [0'5 puntos] Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f.

(a) Como = 4/0⁺ = + ¥ , x = - 2 es A.V.

= 4/0 ^- = - ¥

Tiene una asíntota oblicua y = mx+n, porque es un cociente de polinomios con elnumerados de un grado mas que el denominador , con

m === 1 n =(f(x) - mx) = = - 2

luego la A.O. es y = mx + n = x - 2. Se puede hacer rapidamente dividiendo numerador entre denominador y la asíntota es el conciente

Veamos su posición relativa

f(x) - asíntota O. = - (x - 2 ) =

Como = 0⁺ , f(x) está por encima de la A.O. en + ¥

Como = 0 ^- , f(x) está por debajo de la A.O. en - ¥

b) Estudio de f '(x) para ver la monotonía

f '(x) ==

f '(x) = 0; x² + 4x = 0; x(x + 4) = 0, de donde x = 0 y x = - 4 que serán los posibles máximos o mínimos

Como f ' (-5) > 0, f(x) crece en ( - ¥ , - 4)

Como f ' (-3) < 0, f(x) decrece en (- 4,0), por definición x = - 4 es un máximo relativo. Punto (-4, -8)

Como f ' (1) > 0, f(x) crece en (0, - ¥ ), por definición x = 0 es un mínimo relativo. Punto (0,0)

Hay que tener cuidado porque x = - 2 es una asíntota vertical

c) Su gráfica es ( en azul la asíntota oblicua)