| Enunciado del ejercicio nº 4 | solución del ejercicio nº 4 | Cuadro de Soluciones modelo 5 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 4 de la opción B del modelo 5 del libro 96_97 |
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(1) [1 punto] Define el concepto de producto escalar de vectores de  3 y enuncia tres de sus propiedades (2) [1'5 puntos] Encuentra un vector w cuya primera componente sea 2 y que sea perpendicular a los vectores u = (1, -1,3) y v = (0, 1, -2)
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Solución |
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(1) Sean u y v dos vectores de  3 y sea a el ángulo que forman los vectores u y v en el sentido de u a v, se define el producto escalar de los vectores u y v como el siguiente número:u · v =||u||.||v||.cos(a )., es decir el módulo del vector u por el modulo del vector v por el coseno del ángulo que forman.En el caso de bases ortonormales si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) el producto escalar es u · v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3En el caso de que los vectores u o v sean alguno el vector nulo o, se define el producto escalar u · v = 0 como el número ceroUna propiedad es la conmutativa u · v = v · uOtra propiedad es que el producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por la proyección del otro sobre el u · v = u · proy(v)uEl producto escalar de un vector consigo mismo siempre es positivo u · u > 0(2) w = (2,m,n) u = (1, -1,3) y v = (0, 1, -2) Como w es perpendicular a u su producto escalar es cero es decir w · u = 0 = 2 - m + 3nComo w es perpendicular a v su producto escalar es cero es decir w · v = 0 = 0 + m - 2nResolviendo el sistema 0 = 2 - m + 3n 0 = 0 + m - 2n obtenemos n = -2 y m = -4 El vector pedido es w = (2,m,n) = (2, -4, -2)
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