| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 5 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 5 del libro 96_97 |
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(1) [1 punto]. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x3 - 3x en el punto de abscisa x = -1. (2) [1'5 puntos] .Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada y calcula su área.
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Solución |
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(1) La recta tangente en x = -1 es y - f(-1) = f '(-1).(x+1) f(x) = x3 - 3x ® f(-1) = -1 + 3 = 2f '(x) = 3x2 - 3 ® f '(-1) = 3 - 3 = 0La recta tangente es y - 2 = 0, es decir y = 2 (2) f(x) = x3 - 3x es una cúbica f(x) = 0 ® x3 - 3x = 0 = x(x2 - 3), de donde x = 0 y x = ± Ö (3), luego los cortes con los ejes son (0,0), (+Ö (3), 0) y (-Ö (3), 0)Como f(-x) = -x3 + 3x = - (x3 - 3x) = - f(x), la función es impar y simétrica respecto al origen (0,0) De f '(x) = 3x2 - 3 = 0, obtenemos x = ± 1 que son los posibles máximos y mínimos relativos.f ''(x) = 6x Como f ''(1) = 6 > 0, x = 1 es un mínimo relativo que vale f(1) = -2 Como f ''(-1) = -6 < 0, x = -1 es un máximo relativo que vale f(-1) = 2
Con estos datos ya podemos esbozar la gráfica de f(x) y de su recta tangente y = 2 (en azul)
Para calcular el área veamos el corte de la función f(x) = x3 - 3x con la recta y = 2. Una de sus soluciones es x = -1 pues donde hemos calculado la recta tangente x3 - 3x = 2 ® x3 - 3x - 2 = 0Por Ruffinni
Luego x3 - 3x - 2 = (x+1).(x2 - x - 2) = 0 Las soluciones de x2 - x - 2 = 0 son 2 y -1, luego las soluciones de x3 - 3x - 2 = 0 son -1 (dos veces) y 2. Área = = (4 - 4 + 6) - (+2 - 1/4 + 3/2) = 11/4 u.a.
Área = = [2x -x4/4 +3x2/2]0-1 + [2x -x4/4 +3x2/2] Ö (3)0 +[2x -x4/4 +3x2/2]2Ö (3) == [(0) - (-2 - 1/4 + 3/2)] + [(2 (3) = = [(0) - (-2 - 1/4 + 3/2)] + [(2Ö (3) - 9/4 + 9/2) - (0)] +[(4 - 4 + 6) - (2Ö (3) - 9/4 + 9/2)] = 27/4 u.a.
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f(x) = 
f(x) = 
[2 - (x3 - 3x)] dx = [2x -x4/4 +3x2/2]2-1 =
[2 - (x3 - 3x)] dx + 
[2 - (x3 - 3x)] dx + 
[2 - (x3 - 3x)] dx =