Solucion modelo 5 del libro 96

Solución del ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97

Enunciado del Ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97
(1) [1'5 puntos]. Halla el punto P de la gráfica de la función f definida para x ³ -3 por f(x) = Ö (2x+6) que está más próximo al origen de coordenadas. (2) [1 punto] .Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en P .
Solución del Ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97
(1) d(O,P) = mínima P(x, Ö (2x+6) ) OP = (x, Ö (2x+6) ) d(O.P) = \|\| OP \|\| = Ö [x² + 2x + 6] d '(x) = (2x+2)/[2Ö (x² + 2x + 6)] d '(x) = 0 ® 2x + 2 = 0, de donde x = -1. Veamos que es un mínimo viendo que d ''(-1) > 0 d '(x) = (2x+2)/[2Ö (x² + 2x + 6)] = (x+1)/[Ö (x² + 2x + 6)] d ''(x) = [(1).Ö (x² + 2x + 6) - (x+1). (2x+2)/2Ö (x² + 2x + 6)] / (x² + 2x + 6) = = 5/(x² + 2x + 6)^3/2 d ''(-1) = 5/(1 -2 + 6)^3/2 > 0 luego es un mínimo El punto es P(-1, Ö (-2+6) ) = P(-1,2) (2) La recta tangente en P(-1,2) es y - f(-1) = f '(-1)(x + 1) f(x) = Ö (2x+6) ® f(-1) = Ö (-2+6) = 2 f '(x) = 2/2Ö (2x+6) ® f(-1) = 1/Ö (-2+6) = 1/2 Luego la recta tangente pedida es y - 2 = (1/2).(x + 1)