Solucion del modelo 5 del libro 96_97 opA ejer 1

Solución del ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97

Enunciado del ejercicio nº 1

solución del ejercicio nº 1

Cuadro de Soluciones modelo 5 del libro 96_97

Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97
La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m./s. por la gráfica (1) [1'5 puntos]. Calcula la función espacio recorrido. (2) [0'5 puntos]. Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido. (3) [0'5 puntos] .Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido.
Solución del Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97
La velocidad es v (t) = e '(t) la derivada del espacio respecto del tiempo luego por el Teorema fundamental del calculo integral e(t) = ò v (t) dt = ò e '(t) dt v(t) = 2t si t Î [0,1) v(t) = 2 si t Î [1,3) v(t) = - t + 5 si t Î [3,5] las tres son rectas del tipo y = mx + n. En el primer caso la sustituimos en los puntos (0.0) y (1,2); en el segundo caso la sustituimos en los puntos (1,2) y (3,2) y en el tercer caso la sustituimos en los puntos (3,2) y (5,0). Veamos por ejemplo el tercer caso. y = mx + n (3,2) ® 2 = 3m+n (5,0) ® 0 = 5m+n Resolviendo sale m = -1 y n = 5, que es v(t) = - t + 5 si t Î [3,5] Si t Î [0,1), v(t) = 2t, luego e(t) = ò 2t dt = t² + M Si t Î [1,3), v(t) = 2, luego e(t) = ò 2 dt = 2t + N Si t Î [3,5], v(t) = -t + 5, luego e(t) = ò (-t + 5) dt = -t²/2 + 5t + P La función es continua y además como parte del origen e(0) = 0 e(0) = 0 = 0² + M, luego M = 0 Como es continua en t = 1, e(1) = e(t) = e(t) . Sustituyendo (2t + N) = ( t² + 0). Sustituyendo t por 1 tenemos 2 + N = 1, de donde N = - 1 Como es continua en t = 3, e(3) = e(t) = e(t) . Sustituyendo (-t²/2 + 5t + P) = ( 2t + N). Sustituyendo t por 3 tenemos -9/2 + 15 + P = 6 - 1, de donde P = - 5'5 Luego la función espacio es Si t Î [0,1), e(t) = t² Si t Î [1,3), e(t) = 2t - 1 Si t Î [3,5], e(t) = -t²/2 + 5t - 5'5 (2) La gráfica de t² es una parábola con las ramas hacia arriba y el vértice en el punto (0,0) La gráfica de -t²/2 + 5t - 5'5 es una parábola con las ramas hacia abajo y el vértice en el punto (5,17'875) La gráfica de 2t - 1 es una recta La gráfica aproximadamente es (3) Área bajo la curva = área triángulo de base 1 y altura 2 + área cuadrado de base 2 + área triángulo de base 2 y altura 2 = (1/2).1.2 + 2.2 + (1/2).2.2 = 1 + 4 + 2 = 7 u.a. Área por integrales = [t²]¹₀ + [2t - 1 ]³₁ + [-t²/2 + 5t - 5'5 ]⁵₃ = = 1 + [(5) - (1)] + [ (7) -(5)] = 7 u.a. Luego coincide de las dos formas.

Cuadro de soluciones del modelo 5 del libro 96_97