| Enunciado del ejercicio nº 3 | solución del ejercicio nº 3 | Cuadro de Soluciones modelo 4 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 3 de la opción B del modelo 4 del libro 96_97 |
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Sean las rectas r º (x-1)/3 = y/2 = (z-m)/(-1) y s º x/2 = y/m = (z+1)/2(I) [1 punto].¿.Para qué valor de m están r y s contenidas en un mismo plano? (2) [1'5 puntos]. En el caso en que m = 1, halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (1,1,2) y corta a r y a s.
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Solución |
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(1) r º (x-1)/3 = y/2 = (z-m)/(-1) ; punto P(1,0,m), vector director u = (3,2,-1)s º x/2 = y/m = (z+1)/2 ; punto Q(0,0,-1), vector director v = (2,m,2)Para que las rectas r y s formen un plano sus vectores directores no pueden ser paralelos (sus coordenadas no pueden ser proporcionales) y además det(PQ,u,v) = 0 Como 3/2 ¹ -1/2, u y v no son paralelosPQ = (-1,0,1 - m) 0 = det(PQ,u,v) = Luego las rectas r y s formen un plano si m = 0. (2) A = (1,1,2) Si m = 1 r º (x-1)/3 = y/2 = (z-1)/(-1) ; punto P(1,0,1), vector director u = (3,2,-1)s º x/2 = y/1 = (z+1)/2 ; punto Q(0,0,-1), vector director v = (2,1,2)Para calcular la recta que pasa por A y corta a r y s la damos como intersección de dos planos p 1 º det(x - a, AP,u) = 0, plano que pasa por A y contiene a la recta rp 2 º det(x - a, AQ,v) = 0, plano que pasa por A y contiene a la recta sAP = (0,-1,-1) p 1 º det(x - a, AP,u) = = (x-1).(3) - (y-1).(3) + (z-2).(3) =
= 3x - 3y + 3z - 6 = 0 AQ = (-1,-1,-3) p 1 º det(x - a, AQ,v) = = (x-1).(1) - (y-1).(4) + (z-2).(1) =
= x - 4y + z + 1 = 0 La recta pedida es x -y + z - 2 = 0 x - 4y + z + 1 = 0
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= -3m2, de donde m2 = 0 y m = 0.