| Enunciado del ejercicio nº 2 | solución del ejercicio nº 2 | Cuadro de Soluciones del modelo 4 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 4 del libro 96_97 |
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Sea f ' la función derivada de una función derivable f : Â ® Â . Se sabe que es f ' es continua y que(i) f '(0) = 0, f '(2) = 1, f '(3) = 0, f '(4) = -1, f '(5) = 0; (ii) f ' es estrictamente creciente en los intervalos ( - ¥ , 2) y ( 4, +¥ );(iii) f ' es estrictamente decreciente en el intervalo (2,4); (iv) la recta de ecuación y = 2x + 3 es una asíntota oblicua de f ' cuando x ® + ¥ .(1) [1'25 puntos]. Esboza la gráfica de f '. (2) [1'25 puntos]. ¿En qué valores de x alcanza f sus máximos y mínimos relativos?
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Solución |
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(2) Los posibles máximos y mínimos relativos son los valores que hacen f '(x) = 0. En nuestro caso son x = 0, x = 3 y x = 5. Estudiamos el valor de la segunda derivada en dichos puntos para ver que es Como f ' es estrictamente creciente en el intervalo ( - ¥ , 2) y ser f ' continua tenemos f ''(- ¥ , 2) > 0, luego f es convexa en (- ¥ , 2) y en particular como f ''(0) > 0 , x = 0 es un mínimoComo f ' es estrictamente decreciente en el intervalo ( 2 , 4) y ser f ' continua tenemos tenemos f ''(2,4) < 0, luego f es cóncava en (2,4) y en particular como que f ''(3) < 0 , x = 3 es un máximo Como f ' es estrictamente creciente en el intervalo ( 4, + ¥ ) y ser f ' continua tenemos tenemos f ''(4, +¥ ) > 0, luego f es convexa en (4, + ¥ ) y en particular como que f ''(5) > 0 , x = 5 es un mínimoAdemás x = 2 y x = 4 son puntos de inflexión de f(x) (1) Si tiene una asíntota oblicua y = 2x + 3 en + ¥La gráfica puede ser parecido a esto (la asíntota está en azul)
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