(1) [1'5 puntos] Determina el valor de b para el cual los planos cuyas ecuaciones se dan a continuación contienen una misma recta:

x + y = 1,

b y + z = 0,

x + (b +1)y + b z = b + 1.

(2) [1 punto] Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta común a la que se refiere el apartado anterior.

(1)

x + y = 1,

b y + z = 0,

x + (b +1)y + b z = b + 1.

Sea M = y M^* = la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.

Para que los tres planos se corten en una recta rango(M) = rango(M^*) = 2 para lo cual |M| = 0

0 = |M| == - b + b ² = b (-1+b ), por tanto b = 0 y b = 1 para que los tres planos se puedan cortar en una recta.

M = y M^* =

En M como = 1 ¹ 0, rango(M) = 2

En M^* como = 0 (por tener dos filas iguales), rango(M^*) = 2

Luego si b = 0 los tres planos se cortan en una recta que es (elimino la tercera ecuación)

x + y = 1,

+ z = 0.

En paramétricas tomamos y = l y nos queda r º x = 1 - l , y = l , z = 0

Si b = 1

M = y M^* =

En M como = 1 ¹ 0, rango(M) = 2

En M^* como = 1 ¹ 0, rango(M^*) = 3

Como rango(M) = 2 ¹ rango(M^*) = 3, en este caso no hay recta

(2)

Para hallar el simétrico de O(0,0,0) respecto de la recta r º x = 1 - l , y = l , z = 0, calculamos el plano p perpendicular a r por O, determinamos la intersección A de r con p , y A es el punto medio del segmento OO' siendo O' el simétrico buscado

Como p es perpendicular a r, el vector normal n de p coincide conel vector director v de r, n = v = (-1,1,0)

La ecuación normal del plano p es (x - o)· n = 0

p º x.(-1) + y.(1) + z.(0) = -x + y = 0

A = r Ç p

-(1 - l ) + (l ) = 0 ® 2l = 1 ® l = 1/2

A ( 1 - (1/2), 1/2, 0) = A ( 1/2, 1/2, 0)

Como A es el punto medio del segmento OO'

( 1/2, 1/2, 0) = (x/2, y/2, z/2) de donde x = 1, y = 1 y z = 0, es decir el simétrico buscado es O'(1,1,0)