| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 3 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 3 del libro 96_97 |
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[2'5 puntos] Se desea construir un depósito sin tapa que tenga 2 m3. de volumen. Determina la altura del depósito y el radio de su base para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima.
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Solución |
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Área mínima = A = Área rectángulo + Área circulo = 2p r.h + p r2 Relación Volumen = 2 = (área base).(altura) = p r2.h ® h = 2/(p r2) Área mínima = A = 2p r.h + p r2 = 2p r.[ 2/(p r2)] + p r2 = 4/r + p r2 Le aplicamos la técnica de máximos y mínimos A(r) = 4/r + p r2 A '(r) = -4/(r2) + 2p r A '(r) = 0 ® -4/(r2) + 2p r = 0 ® r3 = 2/p ® r = (2/p )1/3 Veamos que es un mínimo A ''(r) = 8r/(r4) + 2p ® A ''[(2/p )1/3] = 8r/[(2/p )1/3]4 + 2p > 0, luego es un mínimo Las dimensiones son r = (2/p )1/3 , h = 2/(p r2) = 2/(p (2/p )1/3 )2 = 21-2/3. p 2/3 - 1 = 21/3/p 1/3 = (2/p )1/3.
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Volumen = 2 