Considera las rectas r º y s º

(1) [1'5 PUNTOS]. ¿Para qué valor del parámetro b se cortan las rectas r y s?

(2) [1 PUNTO]. Para el valor de b hallado en el apartado anterior, calcula el punto de corte de ambas rectas.

(1)

Como las recta me las han dado como en forma implícita como intersección de dos planos podemos formar un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

x+y+z = 2

x+2y-3z = 8

b x-y-z = 1

x-y+z = -2

Sean M = y M^* =

Si rango(M) = 3 ¹ rango(M^*) = 4, las rectas r y s se cruzan

Si rango(M) = rango(M^*) = 3, las rectas r y s se cortan en un punto

Si rango(M) = 2 ¹ rango(M^*) = 3, las rectas r y s son paralelas y distintas

Si rango(M) = rango(M^*) = 2, las rectas r y s son paralelas coincidentes

Nuestro caso es "rango(M) = rango(M^*) = 3, las rectas r y s se cortan en un punto", para lo cual |M^*| = 0

|M^*| = 0 == [2ª F + 1ªF.(-1), 3ª F + 1ªF.(-b ), 4ª F + 1ªF.(-1) ] =

== [desarrollo por los adjuntos del elemento a₁₁ ] =

= = [3ª C + 1ªC.(-2)] =

== [desarrollo por los adjuntos del elemento a₃₁ ] =

= (-2).[(-12 +4+4b ) = 16 - 8b = 0, de donde b = 2 para que las rectas se corten en un punto

(2)

Para b = 2 nos piden el punto de corte de las rectas, como rango(M) = rango(M^*) = 3 tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, nos quedamos con las tres primeras y resolvemos el sistema. La solución del sistema es el punto de corte de las dos rectas

x+y+z = 2 ® x+y+z = 2 ® x+y+z = 2

x+2y-3z = 8 [2ª + 1ª(-1)] ® y-4z= 6 ® y-4z= 6

2x-y-z = 1 [3ª + 1ª(-2)] ® -3y-3z=-3 [3ª + 2ª(3)] ® -15z=15

De donde z = -1, y = 2, x = 1, es decir las rectas se cortan en el punto (x,y,z) = (1,2,-1)