Considera la función f definida para x ¹ -2 por la relación f(x) = (4x²+3x-9)/(x+2)

(1) [1'25 PUNTOS]. Halla los intervalos de crecimiento, los intervalos de decrecimiento y los extremos locales de f .

(2) [1'25 PUNTOS]. Calcula f(x) dx.

(1)

Para ver la monotonía estudiamos su primera derivada f '(x)

f(x) = (4x²+3x-9)/(x+2)

f(x) = [(8x+3)(x+2) - (4x²+3x-9)(1)]/(x+2)² = (4x²+16x+15)/( x+2)²

f(x) = 0 ® 4x²+16x+15 = 0, pues para que se anule una fracción solo ha de hacerlo el numerador

Resolviendo 4x²+16x+15 = 0 obtenemos x = -5/2 = -2'5 y x = -3/2 = -1'5 que son los posibles máximos o mínimos relativos.

Como f '(-3) = 3/(+) > 0 ® f(x) crece en (-¥ ,-2'5)

Como f '(-2'4) = (-0'36)/(+) < 0 ® f(x) decrece en (-2'5,-1'5)

Como f '(-1) = 3/(+) > 0 ® f(x) crece en (-1'5,+ ¥ )

Por definición en x = -2'5 hay un máximo relativo (porque a su izquierda la función crece y a su derecha decrece) que vale f(-2'5) = - 17

Por definición en x = -1'5 hay un mínimo relativo (porque a su izquierda la función decrece y a su derecha crece) que vale f(-1'5) = - 9

f(x) crece en (-¥ ,-2'5) È (-1'5,+ ¥ ) y decrece en (-2'5,-1'5)

(2)

f(x) dx. Calculamos primero la integral indefinida

I = ò f(x) dx = ò [(4x²+3x-9)/(x+2)] dx es una integral racional con el numerador de mayor grado que el denominador, luego hemos de efectuar primero la división:

I = ò [(4x²+3x-9)/(x+2)] dx = ò (4x-5) dx + ò [1/(x+2)] dx =

= x² - 5x + Ln|x+2|

Luego f(x) dx = [x² - 5x + Ln|x+2| ]⁶₂ =

= [(6² - 5.6 + Ln|6+2|) - (2² - 5.2 + Ln|2+2|) ] = 12 + Ln(8) - Ln(4) = 12 + Ln(2) u.a.