Considera los planos de ecuaciones p _{1 º} x + b y + z = 0, p _{2 º} 2x - 3y + z - 5 = 0 y p _{3 º} x + y - 2z -15 = 0.

(1) [1'25 PUNTOS]. Determina b de forma que los tres planos tengan una recta en común.

(2) [1'25 PUNTOS]. Determina si para algún valor de b el plano p ₁ es perpendicular a los otros dos planos.

p _{1 º} x + b y + z = 0, p _{2 º} 2x - 3y + z - 5 = 0 y p _{3 º} x + y - 2z -15 = 0.

Sea M = y M^* = la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema considerado de los tres planos. Para que los tres planos se corten en una recta rango(M) = rango(M^*) = 2, con lo cual |M| ha de ser cero, pues si no tendría rango 3

|M| = = 10 + 5b

|M| = 0 ® 10 + 5b = 0, de donde b = -2 para que los tres planos se corten en una recta.

(2)

p _{1 º} x + b y + z = 0, con vector normal n₁ = (1, b ,1)

p _{2 º} 2x - 3y + z - 5 = 0, con vector normal n₂ = (2,-3,1)

p _{3 º} x + y - 2z -15 = 0, con vector normal n₁ = (1, 1,-2)

Para que p ₁ sea perpendicular a p ₂ y p ₃, su vector normal n₁ ha de ser proporcional al vector producto vectorial de n₂ y n₃ , es decir n₂ x n₃ .

n₂ x n₃ == i(5) -j(-5)+k(5) = (5,5,5)

Para que n₁ = ((1, b ,1), sea proporcional al vector n₂ x n₃ = (5,5,5), 1/5 = b /5 = 1/5. Operando se obtiene b = 1, es decir con este valor el plano p ₁ es perpendicular a p ₂ y p ₃,