[2'5 PUNTOS]. Calcula el área de la región rayada en la figura y justifica el procedimiento empleado {Ln(x) es el logaritmo neperiano de x.)

Por la propiedades de Ln(x) sabemos que pasa por (0,1), y el rectángulo tiene de altura Ln(3)

El área pedida es el área del rectángulo de base 3 y asltura Ln(3) menos el área encerrada por Ln(x) entere 1 y 3, luego:

Área = 3.Ln(3) - Ln(x) dx = 3.Ln(3) - [x.Ln(x) - x ]³₁ =

= 3.Ln(3) - [(3.Ln(3) - 3) - (1.Ln(1) - 1) ] = 3 - 1 = 2 u.a.

Calculamos ò Ln(x) dx, que es una integral por partes (ò u.dv = u.v - ò v.du)

u = Ln(x) ® du = (1/x).dx

dv = dx ® v = ò dx = x

ò Ln(x) dx = x.Ln(x) - ò x.(1/x) dx = x.Ln(x) - ò dx = x.Ln(x) - x