| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 2 del libro 96_97 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 2 del libro 96_97 |
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[2'5 PUNTOS]. En las páginas de un libro ha de imprimirse un texto que ocupa 200 cm2. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm. y los márgenes superior e inferior de 6 cm. cada uno. Calcula las dimensiones de cada página para que la cantidad de papel necesario sea mínima.
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Solución |
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La función a optimizar es P = (x + 8)(y + 12) Relación 200 m2 = xy, de donde y = 200/x, con lo cual P = (x + 8)(y + 12) = (x + 8)(200/x + 12) = 12x + 1600/x + 296 Le aplicamos la técnica de máximos o mínimos P '(x) = 12 - 1600/(x2) P '(x) = 0 ® 12 - 1600/(x2) = 0 ® 12 = 1600/(x2) ® x2 = 1600/12 = 400/3 x = ± Ö (400/3) = + 20/(Ö 3) (solo vale la solución positiva pues son distancias. x = 20/(Ö 3) es el posible máximo o mínimo. Entramos en la 2ª derivada para ver que es P ''(x) = -1600(-2)/x3 = 3200/x3 P ''[20/(Ö 3)] = 3200/[20/(Ö 3)]3 > 0, luego x = 20/(Ö 3) es un mínimo y = 200/x = 200/[20/(Ö 3)] = 10.(Ö 3) Las dimensiones de la página son largo = 10.(Ö 3) + 12 y ancho = 20/(Ö 3) + 8, para que el gasto de papel sea mínimo.
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