[2'5 PUNTOS]. La línea recta que pasa por los puntos (0, -6) y (1, 0) (mira el dibujo) es la gráfica de la función derivada segunda f '' de una cierta función f : Â ® Â . Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la recta tangente tiene pendiente igual a 3. Determina una expresión de la función f .

Vamos a calcular la expresión de f ''(x) = ax + b puesto que me dicen que es una recta

y = ax + b y pasa por (0,-6) y (1,0).

Como pasa por (0,-6) ® - 6 = b

Como pasa por (1,0) ® 0 = a + (-6) ® a = 6

Por tanto f ''(x) = ax + b = 6x - 6

Como f(x) pasa por el origen tengo que f(0) = 0

Como en dicho punto, es decir el origen, la recta tangente tiene pendiente igual a 3 tengo que f '(0) = 3

Por el Teorema fundamental del calculo integral que dice: Si f(x) es una función continua entonces la función F(x) = f(t) dt es derivable y su derivada es F '(x) = f(x). En mi caso particular f '(x) = ò f ''(x) dx

f '(x) =ò f ''(x) dx =ò (6x-6) dx = 3x² - 6x + K

f '(x) = 3x² - 6x + K , de f '(0) = 3 tenemos 3 = 0+0+K ® K = 3

Luego f '(x) = 3x² - 6x + K = 3x² - 6x + 3

Por el Teorema fundamental del calculo integral de nuevo

f(x) =ò f '(x) dx =ò (3x² - 6x + 3) dx = x³ - 3x² + 3x + L

f(x) = x³ - 3x² + 3x + L, de f(0) = 0 tenemos 0 = 0-0+0+L ® L = 0

Luego la función pedida es f(x) = x³ - 3x² + 3x + L = x³ - 3x² + 3x