(a) [ 1 punto] Calcula la integral

Realizando el cambio de variable cos(x) = t

(b) [ 1 punto] Calcula la misma integral que en el apartado anterior pero haciendo el cambio de variable tg(x) = u

(c) [ 0'5 puntos] ¿Se obtiene el mismo resultado en ambos casos? Justifica la respuesta..

(a)

I =[ sen(x) / (cos(x))³ ] dx con el cambio cos(x) = t; -sen(x) dx = dt

I =[ sen(x) / (cos(x))³ ] dx = ( -dt / t³) = -t ^-3 dt = - t ^-2 / (-2) = 1 / 2t² = (quitando cambio) =

= 1 / 2(cos(x))² + K

(b)

I =[ sen(x) / (cos(x))³ ] dx con el cambio tan(x) = u; [ 1 / cos² (x) ]dx = du

I =[ sen(x) / (cos(x))³ ] dx = [ {sen(x)/cos(x)}.{dx/cos²(x)} ] = u.du = u²/2 = (quitando cambio) =

= (tan²(x))/2 + M

(c)

El resultado que se obtiene es el mismo pues hay que tener en cuenta que dos primitivas se diferencian en una constante, es decir

1 / [2cos²(x) ] = 1/2 tan²(x) + K = [sen²(x) / 2cos²(x) ] + K

1 = sen²(x) + 2Kcos²(x)

1 - sen²(x) = 2Kcos²(x)

cos²(x) = 2Kcos²(x)

De donde K = 1/2 ( también sale cos(x) = 0)