Calculamos primero la integral indefinida

I = [ e^x / (e^2x +3e^x +2) ] dx Nos dan el cambio t = e^x, luego dt = e^x dx, y sustituyendo nos queda

I = dt /(t² +3t + 2) , que es una integral racional. Descomponemos en factores simples el denominador

1/( t² +3t + 2) = A/(t+1) + B/(t+2) = [ A(t+2) + B(t+1) ] / [(t+1)(t+2)]. Igualando numeradores tenemos

1 = A(t+2) + B(t+1)

Para t = -1, tenemos 1 = A.1, de donde A = 1

Para t = -2, tenemos 1 = - B, de donde B = - 1

Luego

I = dt /(t² +3t + 2) = [ A/(t+1) + B/(t+2) ] dt =

= [ 1/(t+1) + (-1) / (t+2) ] dt = 1.ln½ t+1½ - 1.ln½ t+2½ = ln ½ (t+1)/(t+2)½ =

Quitando el cambio

= ln ½ (e^x+1)/( e^x +2)½ . Por tanto

= [ ( ln { (e¹+1)/( e¹ +2) } ) - ( ln { (e⁰+1)/( e⁰ +2) } ) ]