(a) [ 2 puntos] ¿Cuál es el punto P de la recta r dada por

que está mas cerca del punto A = ( 2, 3, -1 ).

(b) [ 0'5 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B = ( 1, 0, 0 )

(a)

El punto P de la recta r que está mas cerca del punto A es el que está en la proyección ortogonal, para lo cual calculamos el plano P perpendicular a r por el punto A, y hallamos la intersección de dicho plano con la recta

Tomando z = l

Nos queda la recta

x + y = 1 - 2l

x - 2y = 1 + 4l

resolviéndolo obtenemos x = 1, e y = -2l , por tanto la recta r en vectorial es

r º (x,y,z) = (1, -2l , l ). Luego un vector director de r es v = (0,-2,1)

El plano P pasa por el punto A(2,3,-1) y tiene como vector normal n = v = (0,-2,1), el director de la recta, luego

P º 0(x-2) - 2(y-3) + 1(z+1) = 0, de donde -2y + z + 7 = 0

El punto P = r Ç P es

-2(-2l ) + l + 7 = 0, de donde l = -5/7 y el punto es P(1, -2(-7/5), -7/5) = P(1, 14/5, -7/5)

(b)

A(2,3,-1), B(1,0,0) , P(1, 14/5, -7/5)

El área pedida es 1/2 ½ BPxBA½

BP = (0, 14/5, -7/5)

BA = (1,3,-1)

= i(-14/5 +21/5) - j(7/5) + k(-14/5) = (7/5, -7/5, -14/5)

Área = 1/2 ½ BPxBA½ = 1/2.(49/25 + 49/25 + 196/25)^(1/2) = u. a.