[ 2'5 puntos] Calcula una primitiva de la función f : Â ® Â definida por f(x) = 2x^2.sen(x) cuya gráfica pase por el origen de coordenadas

F(x) = f(x) dx = 2x²sen(x) dx = por partes = I

x² = u; 2xdx = du

dv = sen(x) dx; v = sen(x) dx = -cos(x)

F(x) = I = 2.[ x².(-cos(x)) + 2xcos(x) dx ] = 2.[ x².(-cos(x)) +2xcos(x) dx ] =

= 2.[ x².(-cos(x)) + 2.I₁ ]

I₁ = xcos(x) dx = x.sen(x) - sen(x) = x.sen(x) +cos(x)

Habiendo tomado u = x y dv = cos(x)dx. Luego

F(x) = 2.[ x².(-cos(x)) + 2.I₁ ] = 2.[ x².(-cos(x)) + 2.( x.sen(x) +cos(x) ) ] =

= -2x².cox(x) + 4x.sen(x) + 4cos(x) + K

Como F(0) = 0, tenemos 0 = 0+0+4.1 +K, de donde K = -4, y la primitiva pedida es

F(x) = -2x².cox(x) + 4x.sen(x) + 4cos(x) - 4