La función derivada de una función derivable f : Â ® Â viene dada por la gráfica de la figura. Además, se sabe que f( -1) = 9/2

De la gráfica observamos que f '(x) está formada por dos trozos de recta, que pasa por (0,2) y (2,0) y claramente se ve que es la constante y = -1 para x ³ 3

La ecuación de una recta es y = mx + n

Como pasa por (0,2), tenemos 2 = n

Como pasa por (2,0), tenemos 0 = 2m + 2, de donde m = -1. Luego

Aplicando el teorema fundamental del calculo integral a cada rama tenemos

Si x < 3, f(x) = f '(x) dx = (-x+2) dx = - x²/2 +2x + K. Como el problema dice que f( -1) = 9/2, tenemos que

9/2 = -1/2 -2 +K, de donde K = 7

Análogamente, si x > 3, f(x) = f '(x) dx = (-1) dx = - x + K. Como coinciden en x = 3, por ser continua tenemos que

lim _{x ® 3 +} f(x) = lim _{x ® 3 -} f(x) , es decir

-9/2 +6+7 = -3 +K, de donde K = 23/2, y la función pedida es