[ 2'5 puntos] Dibuja y calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f , g : Â ® Â dadas por f(x) = x² y g(x) = x³ - 2x

f(x) = x² es una parábola

g(x) = x³ - 2x, es una cúbica que corta a los ejes en (0,0), (+ , 0), (-, 0)

lim _{x ® + ¥} g(x) = + ¥

lim _{x ® - ¥} g(x) = - ¥

Estudiamos g '(x) = 3x² -2.

g '(x) = 3x² -2 = 0 nos da x =

Como g '(x) > 0 si x < , g(x) es creciente en x < ,

Como g '(x) < 0 si < x < , g(x) es decreciente en < x < ,

Como g '(x) > 0 si x < , g(x) es creciente en x < ,

Por definición en x = , hay un máximo relativo y en x = hay un mínimo relativo

Estudiamos g ''(x) = 6x

g ''(x) = 0, para x = 0

Como g ''(x) < 0 si x < 0, g(x) es cóncava(en Andalucía) si x < 0

Como g ''(x) > 0 si x < 0, g(x) es convexa(en Andalucía) si x > 0

La gráfica de las dos funciones es

Para determinar el área encerrada por las dos funciones tenemos que calcular los puntos donde coinciden, es decir las soluciones de f(x) = g(x)

x³ - 2x = x², de donde x(x²-x-2) = 0. Y las soluciones son x = -1, x = 0 y x = 2, por tanto

= [ (0) - (1/4 + 1/3 - 1) ] + [ (- 2⁴/4 + 2³/3 + 2²) -(0) ] = 37/12 u. a.