Sea f : ( 0, +¥ ) ® Â la función logaritmo neperiano f(x) = Ln(x).

(a) [ 1 punto] Prueba que la función derivada f ' es decreciente en todo su dominio.

(b) [ 1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g : ( 0, +¥ ) ® Â dada por g(x) = f(x) / x.

(a)

f(x) = Ln(x).

f '(x) = 1 / x

Para que f '(x) sea decreciente su derivada f ''(x) tiene que ser < 0, en todo su dominio, pero

f ''(x) = -1 / x², la cual siempre es negativa.

(b)

g(x) = f(x) / x = ln(x) / x.

Estudiamos su primera derivada

g '(x) = [ (1 - ln(x)) / x² ].

g '(x) = 0, nos dá 1 - ln(x) = 0, de donde ln(x) = 1, es decir x = e.

Como g'(x) > 0 si 0 < x < e, la función g(x) es creciente en 0 < x < e

Como g'(x) < 0 si x > e, la función g(x) es decreciente en x > e

Por definición en x = e hay un máximo relativo que vale g(e) = 1/e

Su gráfica es