Examen modelo 4 de 1999

Instrucciones
Duración: 1 HORA Y 30 MINUTOS Elige entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B, sin mezclar los de una opción con los de la otra. Cada ejercicio vale 2'5 puntos. Contesta las preguntas razonando tus conclusiones; la mera respuesta numérica no vale para obtener la puntuación máxima de cada apartado. Por favor, escribe de forma ordenada y con letra clara. Se permite el uso de calculadoras.
modelo 4 de 1999 - Opción A
Ejercicio 1. Sea f : ( 0, +¥ ) ® Â la función logaritmo neperiano f(x) = Ln(x). (a) [ 1 punto] Prueba que la función derivada f ' es decreciente en todo su dominio. (b) [ 1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g : ( 0, +¥ ) ® Â dada por g(x) = f(x) / x. Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Dibuja y calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f , g : Â ® Â dadas por f(x) = x² y g(x) = x³ - 2x Ejercicio 3. [ 2'5 puntos] Determina y representa el lugar geométrico formado por los puntos P = ( x, y ) del plano que verifican la siguiente propiedad: El triángulo PAB cuyos vértices son P, A = ( 2, 0 ) y B = ( -2, 0 ) es un triángulo rectángulo con ángulo recto en P. Ejercicio 4.- La matriz cuadrada X de orden 3 verifica la relación (a) [ 1 punto] Determina si es posible el rango de X. (b) [ 1'5 puntos] ¿Verifica alguna de las matrices A y B siguientes la relación del enunciado:
modelo 4 de 1999-Opción B
Ejercicio 1. La función derivada de una función derivable f : Â ® Â viene dada por la gráfica de la figura. Además, se sabe que f( -1) = 9/2 (a) [ 2 puntos] Determina una expresión algebraica de f. (b) [ 0'5 puntos] Calcula lim _{x ® 3}f(x) Ejercicio 2. [ 2'5 puntos] Calcula una primitiva de la función f : Â ® Â definida por f(x) = 2x^2.sen(x) cuya gráfica pase por el origen de coordenadas. Ejercicio 3. Sea el sistema de ecuaciones x + y = 1 m y + z = 0 x + (1+m)y + mz = 1+m (a) [ 1'5 puntos] Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m. (b) [ 2'5 puntos] Resuélvelo para m = 2. Ejercicio 4. (a) [ 2 puntos] ¿Cuál es el punto P de la recta r dada por que está mas cerca del punto A = ( 2, 3, -1 ). (b) [ 0'5 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B = ( 1, 0, 0 )

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