[ 2'5 puntos] Un paralelogramo cuyo centro es M = ( 3/2, 3, 4 ) tiene por vértices los puntos A = ( 1, 2, 3 ) y B = ( 3, 2, 5 ).

(a) [ 1 punto] Halla las coordenadas de los otros dos vértices.

(b) [ 1 punto] Halla la ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular al plano que contiene al paralelogramo.

(c) [ 0'5 puntos] Calcula el área del paralelogramo.

(a)

M = ( 3/2, 3, 4 ), A = ( 1, 2, 3 ) y B = ( 3, 2, 5 ).

El punto medio M se corta en la mitad de las diagonales, por tanto es el punto medio de los segmentos AC y BD. Luego

(3/2,3,4) = [ (1+x)/2, (2+y)/2, (3+z)/2 ], de donde

x = 2, y = 4, z = 5 y el punto es C(2,4,5)

(3/2,3,4) = [ (3+x)/2, (2+y)/2, (5+z)/2 ], de donde

x = 0, y = 4, z = 3 y el punto es D(0,4,3)

(b)

La recta r pedida tiene como punto M(3/2,3,4) y como vector director v = ADxAB, que es un vector perpendicular al plano

AD = (-1,2-0)

AB = (2,0,2)

La recta pedida en vectorial es (x,y,z) = (3/2 + 4l , 3 +2l , 4 - 4l ), con l Î Â

(c)

El área del paralelogramo es el modulo del vector v = ADxAB = (4,2,4)

Área = ½ ADxAB ½ = ( 4²+2²+4²)^(1/2) = 6 u.a.