La gráfica f de la figura (en rojo) corresponde a una función polinómica de grado 2.

(a) [ 1'5 puntos] Determina una expresión algebraica de la función f.

(b) [ 1 punto] Determina el área de la región limitada por dicha función y la recta dibujada (en azul).

(a)

La parábola es de la forma f(x) = ax² +bx + c

La abcisa de su vértice es la solución de f '(x) = 0, y vemos que el vértice está en (6,0)

f(x) = ax² +bx + c

f '(x) = 2ax +b = 0

f '(6) = 0, nos da 0 = 12 a + b

También (6,0) pertenece a la gráfica luego f(6) = 0 que nos da 0 = 36a + 6b +c

Además el punto (0,9) es de la gráfica luego 9 = 0 + 0 + c

Resolviendo obtenemos a = 1/14, b = -3 y c = 9

Luego f(x) = ax² +bx + c = 1/14x² - 3x + 9

Análogamente la recta y = mx + n pasa por los puntos (6,0) y (0,9) luego

0 = 6m + n

9 = n

de donde m = -3/2 y n = 9 y la recta es

y = mx + n = -3/2x + 9

(b)

Las funciones se cortan en x = 0 y x = 6, luego el área encerrada por ellas es

= -1.6³/12 + 3.6²/4 = 9 u.a.