Sea f : Â ® Â la función definida por f(x) = 2x³ - 5x² + 2x.

(a) [ 1'5 puntos] Demuestra que la recta tangente de ecuación y = - 2x + 1 es tangente a la gráfica de la función y halla el punto de tangencia correspondiente.

(b) [ 1 punto] ¿Corta esta recta tangente a dicha gráfica en algún punto distinto al de tangencia?

(a)

y = - 2x + 1 es tangente a la función f(x) = 2x³ - 5x² + 2x

La pendiente de la función es f '(x), y la pendiente de la recta es -2, luego igualamos f '(x) a -2 y resolvemos la ecuación

f(x) = 2x³ - 5x² + 2x

f '(x) = 6x² - 10x + 2

f '(x) = -2, nos da 6x² - 10x + 2 = -2, 6x² - 10x + 4 = 0,de donde se obtiene x = 1 y x = 2/3

Luego el punto de tangencia tiene de abcisa x = 1

Veamos una gráfica

(b)

Para ver si dicha recta tangente corta en otro punto distinto del de tangencia resolvemos la ecuación f(x) = -2x + 1

2x³ - 5x² + 2x = -2x+1 ; 2x³ - 5x² + 4x - 1 = (x-1)(x-1)(2x+1). Luego la función es cortada también en el punto x = 1/2