| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 3 de 1999 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 3 de 1999 |
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[ 2'5 puntos] La función f : Â ® Â definida por
es derivable en el punto x = 0. ¿Cuánto valen b y c? ( Nota: Ln(t) es el logaritmo neperiano de t. )
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Solución |
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Como es derivable en x = 0, existe f '(0) y además es continua en x = 0 Si existe f '(0), f '(0+) = f '(0-) f '(0+) = lim x ® 0 + f '(x) = lim x ® 0 [ x - (x+1)ln(x+1) / x2(x+1) ] = [ 0 / 0 ]= aplicamos L'Hôpital = lim x ® 0 [ 1 - ln(x+1) + 1 / x2 + 2x (x+1) ] = [ 0 / 0 ]= aplicamos L'Hôpital = lim x ® 0 { [ -1 / (x+1) ] / [ (6x + 2) ] = - 1/2 f '(0-) = lim x ® 0 - f '(x) = lim x ® 0 (2x + b) = b Como f '(0+) = f '(0-), b = - 1/2. Como es continua en x = 0, f(0) = lim x ® 0 - f (x) = lim x ® 0 + f (x) lim x ® 0 - f (x) = lim x ® 0 (x2 +bx + c ) = c lim x ® 0 + f (x) = lim x ® 0 [ ln(x+1) / x] = [ 0 / 0 ]= aplicamos L'Hôpital = lim x ® 0 [ 1 / (x+1) ] = 1 De f(0) = lim x ® 0 - f (x) = lim x ® 0 + f (x), obtenemos c = 1.
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