| Enunciado del ejercicio nº 3 | solución del ejercicio nº 3 | Cuadro de Soluciones modelo 2 de 1999 |
Enunciado del Ejercicio nº 3 de la opción B del modelo 2 de 1999 |
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Considera el sistema x + 2y + 3z = - 1 2x + 5y + 4z = -2 x + 3y + m2z = m (a) [ 1 punto] Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m (b) [ 1 punto] Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado (b) [ 0'5 puntos] Razona para que valores de m tiene inversa la matriz de los coeficientes del sistema.
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Solución |
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(a) Dado el sistema x + 2y + 3z = - 1 2x + 5y + 4z = -2 x + 3y + m2z = m su matriz de los coeficientes M y su matriz ampliada M* son
Como Para que rango(M) = 3 , tiene que ser | M| ¹ 0
= m2 - 3 + 2 = m2 - 1. | M| ¹ 0 si y solo si m2 - 1 ¹ 0, es decir si m ¹ ± 1 Si m = 1, tenemos que rango(M) = 2, y en M* tenemos el menor
por tanto rango(M*) = 3 y el sistema es incompatible. Si m = - 1, tenemos que rango(M) = 2, y en M* tenemos el menor
por tanto rango(M*) = 2 y el sistema es compatible. (b) Si m = -1 el sistema es compatible e indeterminado, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones x + 2y + 3z = - 1 2x + 5y + 4z = -2 Tomando z = l , nos resulta x + 2y = - 1 - 3l 2x + 5y = -2 - 4l Multiplicando por -2 la primera y sumándole a la segunda y = 2l , y sustituyendo en la primera queda x = -1 - 7l , por tanto la solución del sistema es (x,y,z) = (-1-7l , 2l ,l ) con l Î Â (c) La matriz M tiene inversa si y solo si | M| ¹ 0 , es decir si m ¹ ± 1
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y 
, por lo menos rango(M) = 2
