Una partícula se desplaza a lo largo de la curva de ecuación y = f(x) siendo f : Â ® Â la función dada por

(a) [ 1 punto] ¿Hay algún punto en la trayectoria de la partícula en el que dicha curva no admite recta tangente?.

(b) [ 1 punto] Determina las coordenadas del punto de la trayectoria en el que se alcanza la máxima altura.

(c) [ 0'5 puntos] ¿A que recta se aproxima la trayectoria cuando x ® ¥ ? Justifica la respuesta.

(a)

Si en un punto no existe la derivada en dicho punto no existe recta tangente. Veamos si existe f '(0)

Existe f '(0) si y solo si f '(0⁺) = f '(0^-)

f '(0⁺) = lim _{x ® 0 +} f '(x) = lim _{x ® 0} [ e ^-x(1 - x) ] = e⁰(1 - 0 ) = 1

f '(0 ^-) = lim _{x ® 0 -} f '(x) = lim _{x ® 0} [ 0 ] = 0

Como f '(0⁺) ¹ f '(0^-), no existe f '(0), por tanto en x = 0 no existe recta tangente.

(b)

El máximo de f(x) es la solución de f '(x) = 0, comprobando que en f '' al sustituir de < 0

Tomamos la rama f(x) = x.e ^-x

f '(x) = e ^-x(1 - x) = 0, como la exponencial no es cero, 1 - x = 0 de donde x = 1.

f '' (x) = - e ^-x(1 - x) + e ^-x( - 1) = e ^-x(x - 2)

f '' (1) = e ^-1(1 - 2) = e ^-1( - 1) < 0, luego es un máximo

El punto máximo es (1, 1.e ^-1) = (1, 1/e)

(c)

lim _{x ® + µ} f(x) = lim _{x ® + µ} [x.e ^-x] = lim _{x ® + µ} [x /e ^x] = [ µ / µ ] =

Aplicándole la regla de L'Hôpital

= lim _{x ® + µ} [1 /e ^x] = 1 / µ = 0, es decir se aproxima a la recta y = 0