Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B y C que un amigo suyo ha comprado.

Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 ptas.

Pista 2: Si compro m unidades de A, m + 3 de B y 3 de C me gasto 2950 ptas.

(a) [ 1 punto] ¿Hay algún valor de m para el que estas dos pistas no son compatibles?

(b) [ 1puntos] Si en la Pista 2 se toma m = 4, ¿es posible saber el coste de cada uno de l os productos?

(c) [ 2'5 puntos] Pista 3. el amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el producto A y que en la Pista 2 se tiene m = 4. ¿Cuánto valen A, B y C?

(a)

A + 2B + C = 900

mA + (m+3)B + 3C = 2950

La matriz de los coeficientes M y la ampliada M^* son

y

De la matriz M^*, tenemos el menor , por tanto rango(M^*) = 2

Para que el sistema sea incompatible tiene que ser rango(M) = 1, es decir

, de donde m = 3

, de donde m = 3

Luego tomando m = 3, el sistema es incompatible.

(b)

Si m = 4, tenemos

A + 2B + C = 900

4A + 7B + 3C = 2950

Son dos ecuaciones con tres incógnitas y rango (M) = rango(M^*) = 2, por tanto el sistema es compatible e indeterminado y depende de uno de ellos

(c)

Con la última condición C = 5A, el sistema es

A + 2B + C = 900

4A + 7B + 3C = 2950

C = 5A, resolviéndolo se obtiene A = 100, B = 150 y C = 500.