Considera el plano P y la recta r dados por P º ax + 2y - 4z + b = 0 y

(a) [ 1'5 puntos] Halla los valores de a y b para los que r está contenida en P .

(b) [ 1 punto] ¿Existe algún valor de a y algún valor de b para los que la recta r es perpendicular al plano P .

(a)

P º ax + 2y - 4z + b = 0 y

Un vector normal de P es n = (a,2,-4)

Un punto de la recta r es A(3,1,3), y un vector director es v = (4,-4,1)

Como la recta r está en el plano P , los vectores v y n son perpendiculares y su producto escalar es cero, luego

(a,2,-4)· (4,-4,1) = 0 = 4a - 8 - 4 = 0, de donde a = 3

Como la recta r está en el plano P , A Î P , es decir 3(3) + 2 - 12 + b = 0, de donde b = 1

(b)

Para que el plano P y la recta r sean perpendiculares sus vectores normal y director tienen que ser dependientes, es decir v = l n, es decir sus coordenadas tienen que ser proporcionales

a/4 = 2/-4 = -4/1

pero como 2/-4 ¹ -4/1, no existe ningún punto a ni b para que sean perpendiculares el plano y la recta.