[ 2'5 puntos] Calcula las asíntotas de la gráfica de la función f definida para x = - 1 por

y estudia la posición de dicha gráfica con respecto a las asíntotas

La recta x = -1 es una asíntota vertical de f(x) porque

lim _{x ® -1 +} f(x) = lim _{x ® -1 +} [ (x²+3x+1) / (x+1) ] = - 1 / 0⁺ = - µ

Análogamente lim _{x ® -1 -} f(x) = - 1 / 0^- = + µ

Y ya tenemos la posición de la gráfica respecto a la asíntota vertical.

Como en la función f(x) el numerador es un grado mas que en el denominador, tenemos una asíntota oblicua de la forma y = mx + n ( es la misma en + µ y en - µ ) con

m = lim _{x ® µ} [ f(x) / x ] = lim _{x ® µ} [ (x²+3x+1) / x.(x+1) ] = 1

n = lim _{x ® µ} [ f(x) - mx ] = lim _{x ® µ} [ (x²+3x+1) / (x+1) - x ] = lim _{x ® µ} [ (2x+1) / (x+1) ] = 2

Luego la asíntota oblicua es y = mx + n = x + 2

Como lim _{x ® µ} [ f(x) - ( x+2) ] = 0 ^-, la gráfica está por debajo en + µ

Como lim _{x ® - µ} [ f(x) - ( x+2) ] = 0 ⁺, la gráfica está por encima en - µ

Aunque no la piden la gráfica es

Donde la asíntota oblicua está en azul