| Enunciado del ejercicio nº 4 | solución del ejercicio nº 4 | Cuadro de Soluciones modelo 1 de 1999 |
Enunciado del Ejercicio nº 4 de la opción B del modelo 1 de 1999 |
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Un objeto se mueve en el espacio siguiendo una línea recta cuya dirección viene dada por el vector v = ( 1, 2, -1 ). En su movimiento dicho objeto pasa por el punto A = ( 2, 1, 2 ) (a) [ 1 punto] Calcula los puntos de corte de la trayectoria del objeto con los planos coordenados. (b) [ 0'75 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a dicha trayectoria. (c) [ 0'75 puntos] ¿Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del objeto con el plano XOY.
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Solución |
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(a) La ecuación de la recta r en vectorial es r º (x,y,z) = (2+l , 1+2l , 2-l ) La ecuación del plano coordenado XOY es z = 0, de donde 0 = 2 - l , obtenemos l =2 y el punto de corte de la recta con dicho plano es (4,5,0) La ecuación del plano coordenado XOZ es y = 0, de donde 0 = 1 + 2l , obtenemos l = -1/2 y el punto de corte de la recta con dicho plano es (3/2,0,3/2) La ecuación del plano coordenado ZOY es x = 0, de donde 0 = 2 + l , obtenemos l = -2 y el punto de corte de la recta con dicho plano es (0,-3 ,4) (b) El plano P perpendicular a r que pasa por (0,0,0) tiene como vector normal n = v = (1,2,-1) el director de la recta, luego su ecuación es P º 1.(x-0) +2(y-0) -1(z-0) = x - 2y - z = 0 (b) El plano XOY tiene de ecuación z = 0, por tanto su vector normal es nz = (0,0,1) El vector director de la recta es v = (1,2,-1), por tanto el ángulo que forma la recta con el plano es
cos(90 - a
) = sen (a
) = ½
(v ·
nz) / (|
v|
|
nz |
½
= |
-1|
/ a
= arsen ( 1 /
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, por tanto