Sea P el plano que pasa por los puntos M =(1,0,0), B = (0,1,1) y C=(1, 1,1). Sea A el punto ( 1, 2, 3 ) y sea B el simétrico de A respecto del plano P

(a) [ 1'5 puntos] Halla la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB.

(b) [ 1 punto] Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (2, 2, 2 )

(a)

Calculamos el plano P que pasa por los puntos M, B y C para lo cual tomamos como punto el M=(1,0,0), y como vectores paralelos v = MB = (-1,1,1) y w = MC = ( 0,1,1)

(x-1)(0) - (y-0)(-1) + (z-0)(-1) = y - z = 0

Para calcular el simétrico de A(1,2,3) respecto del plano P , calculamos la recta r perpendicular a P por el punto A, y hallamos Q como intersección del plano P con la recta r

r tiene como punto A(1,2,3) y como vector director w = n = (0,1,-1) el normal del plano P . Su ecuación vectorial es

r º (x,y,z) = (1, 2+l , 3-l )

Q = r Ç P

(2+l ) - (3-l ) = 0, operando sale l = 1/2, y el punto Q es

Q(1, 2+1/2, 3-1/2) = Q(1,5/2,5/2)

El punto Q(1,5/2,5/2) es el punto medio del segmento AB, siendo B el punto simétrico buscado, luego

(1,5/2,5/2) = [ (1+x)/2, (y+2)/2, (z+3)/3 ], de donde x = 1, y = 3 y z = 2

El simétrico es B(1,3,2)

La recta que me piden es la r que ya la he calculado r º (x,y,z) = (1, 2+l , 3-l )

Un vector directo suyo es v = (0,1,-1)

(b)

La recta s paralela a la anterior y que pasa por el punto (2,2,2), tiene como vector director el v, por tanto su ecuación es

s º (x,y,z) = (2, 2+l , 2-l )