Considera el tetraedro de vértices A = (1, 0, 0 ), B = (0, 1, 0 ), C = (0, 0, 1 ) y D = (0, 0, 0 ).

(a) Halla la recta r que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.

(a) Halla la mínima distancia entre la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B.

(a) Calcula el volumen del tetraedro.

(a)

A = (1, 0, 0 ), B = (0, 1, 0 ), C = (0, 0, 1 ) y D = (0, 0, 0 ).

Formamos primero el plano P tomando como pinto el A(1,0,0) y como vectores paralelos AB = (-1,1,0) y AC = (-1,0,1)

= (x - 1)(1) - y(-1) + z(1) = x + y + z - 1 = 0. Un vector normal suyo es n = (1,1,1)

La recta pedida r pasa por D(0,0,0) 7 tiene como vector directo v = n = (1,1,1). Su ecuación vectorial es

(x,y,z) = (l ,l ,l ) con l Î Â

(b)

Consideremos s la recta que pasa por A y B. Tomamos como punto A(1,0,0) y como vector director AB = (-1,1,0)

La recta s en vectorial es (x,y,z) = ( -1 - l ,l ,0) con l Î Â

Formamos el siguiente paralelepípedo

Su volumen es V = Área base x altura = | ABxv| .d(r,s) = ½ [DA,v,AB] ½ , donde [DA,v,AB], es el producto mixto de esos vectores, y | ABxv| . Es el módulo del producto vectorial de esos vectores.

De donde obtenemos la distancia entre las rectas

d(r,s) =½ [ DA,v,AB ] ½ / | ABxv| .

DA = (1,0,0)

[DA,v,AB] =

ABxv =

| ABxv| = ( 1¹ +1² +2²)^(1/2) =

Por tanto d(r,s) =½ [ DA,v,AB ] ½ / | ABxv| = 1 / u.l.

(c)

Volumen del tetraedro = 1/6. =½ [ AB,AC,AD ] ½

AB = (-1,1,0)

AC = (-1,0,1)

AD = (-1,0,0)

[ AB,AC,AD ] =

Luego Volumen del tetraedro = 1/6. =½ [ AB,AC,AD ] ½ = 1/6. | -1| = 1/6 u.v.