Sea A una matriz no nula dada y considera la ecuación matricial AX = A + X, donde X es la incógnita.

(a) Encuentra la relación que debe existir entre las dimensiones de A y de X para que la ecuación tenga sentido..

(b) ¿ Puede ser la suma de dos soluciones una nueva solución? ¿ Y el producto de un número por una solución? Justifica la respuesta

(c) Si y buscamos una solución de la forma , discute la ecuación matricial que resulta y resuélvela cuando sea posible

(a)

A ¹ O

AX = A + X

A + X para poder sumarlas tienen que tener la misma dimensión mxn

A.X para poder multiplicarlas el número de columnas de A tiene que coincidir con el número de filas de X, por tanto para que se verifique esta relación y la anterior las matrices tienen que ser cuadradas

(b)

AX₁ = A + X₁

AX₂ = A + X₂

A(X₁ + X₂) = AX₁ + AX₂ = A + X₁ + A + X₂ = 2A + (X₁ + X₂ ) ¹ A + (X₁ + X₂ )

Luego X₁ + X₂ no puede ser solución

Análogamente

A(l X) = l AX = l (A + X) = l A + l X ¹ A + l X

Luego l X tampoco puede ser solución.

(c)

,

A.X = A + X

Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas

kx - y = k+ x

-ky - x = -1 -y

x + 2y = 1 + y

-y + 2x = 2 + x

Se resuelven las dos últimas y se obtiene x = 3/2 e y = -1/2.

Con estos valores entramos en la primera y obtenemos k = 2

Con estos valores entramos en la segunda y obtenemos k = 2, luego el sistema tiene solución con x = 3/2 , y = -1/2 y k = 2.