La temperatura medida en una ciudad andaluza, desde las 12 horas del mediodía hasta la medianoche de un cierto día de Agosto, viene dada por la expresión T(x) = ax² + bx + c, en la que x representa el número de horas transcurridas desde el mediodía.

(a) Calcula a, b y c sabiendo que a las 5 de la tarde se alcanzó una temperatura máxima de 35º y que a las 12 del mediodía se midieron 30º.

(b) Determina de forma razonada los puntos en los que la función anterior alcanza sus extremos absolutos y relativos..

(a)

T(x) = ax² + bx + c

A las 12, x = 0, luego T(0) = 30º = c

x = 5 máximo, T(5) = 35 y además T '(5) = 0

T '(x) = 2ax + b

De T(5) = 35,obtenemos 35 = 25a + 5b + c

De T '(5) = o, obtenemos 0 = 10a + b

Resolviendo este sistema obtenemos a = -1/5 y b = 2, por tanto la función es

T(x) = ax² + bx + c = -1/5x² + 2x + 30

(b)

Los extremos relativos se encuentran en las soluciones de la primera derivada T '(x), y los absolutos entre los relativos y los extremos del intervalo, es decir en x = 0 (12 de la mañana), x = 5 (extremo relativo) o x = 12 (12 de la noche)

T(0) = 30º

T(5) = 35º

T(12) = 25'2º

Por tanto el máximo absoluto se alcanza a las 5 de la tarde y vale 35º, y el mínimo absoluto se alcanza a las 12 de la noche y vale 25'5º