Considera las matrices

y

¿Existe algún valor real l para el cual el sistema AX = l X tiene una solución distinta de la trivial? Si la respuesta es afirmativa, indica el valor de l y resuelve el sistema; si es negativa, di por qué.

AX = l X; AX - l X = O; AX - l .I₃X = O₃, donde I₃ es ñla matriz unidad de orden 3 y O₃ es la matriz nula de orden 3.

De AX - l .I₃X = O₃ , obtenemos (A - l .I₃). X = O₃

Para que la ecuación homogénea (A - l .I₃). X = O₃ , tenfga solución distinta de la trivial, su determinante ½ (A - l .I₃). _½ tiene que ser cero.

(1-l )(-l +l ²-2) -2-1+l ) +2(1) = -l ³ + 2l ² - l + 2 = (l - 2)(1+ l ²) = 0

y vemos que se anula par l = 2. Luego para l = 2 el sistema tiene solución distinto de la trivial. Vamos a resolverlo:

El sistema es

(1-l )x + 2y + 2z = 0

- x - l y - 2z = 0

- y + (1- l )z = 0

Tomando l = 2 tenemos

-x + 2y + 2z = 0

- x - 2y - 2z = 0

- y -z = 0

Como y

Solo necesitamos dos ecuaciones. Tomanmos

- x - 2y - 2z = 0

- y -z = 0

Hacemos z = m, y obtene,mos sustituyendoi y = -m, x = 0, por tanto la solución del sistema es (x,y,z) = (0,-m,m) con m Î Â