| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 4 de 1998 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 4 de 1998 |
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En la figura adjunta se representa la gráfica de la función derivada f ' de una cierta función f : [0,1] ® Â .
(a) Halla una expresión algebraica de f sabiendo que su gráfica pasa por el origen de coordenadas. (a) Representa gráficamente la función f. (a) Estudia la derivabilidad de f '.
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Solución |
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(a) De la figura observamos que la función f '(x) está formada por dos trozas de recta y = ax + b. El primer tramo pasa por (0,0) y (1/2,1), sustituyendo ambos valores en y = ax + b obtenemos b = 0 y a = 2. El segundo tramo pasa por (1/2,1) y (1,0), sustituyendo ambos valores en y = ax + b obtenemos b = 2 y a = - 2. Es decir la función derivada es
Para calcular f(x) aplicamos el teorema fundamental del calculo integral a cada rama, teniendo en cuenta que pasa por (0,0) y que es derivable, para calcular las constantes que me salgan. Para 0 £
x £
1/2, f(x) = Como f(0) = 0, 0 = 02 + K, de donde K = 0 Para 1/2 < x < 1, f(x) = Como coinciden en x = 1/2, puesto que es derivable en dicho punto tenemos que (1/2)2 = - (1/2)2 + 2.(1/2) + M, de donde M = - 1/2. Luego la función pedida es
(b) Como ambas ramas son parábolas, sus gráficas son sencillas, el vértice de x2 es (0,0) y el vértice de - x2 + 2x - 1/2 es (1,1/2) Su gráfica es
(c) De la gráfica de f '(x) ya se está viendo que x = 1/2 es un punto donde no existe la derivada, veámoslo
Para que exista f ''(1/2), tiene que verificarse f '' [(1/2)+] = f '' [(1/2)-], pero f '' [(1/2)+] = lim x ® (1/2) + f ''(x) = lim x ® (1/2) ( -2 ) = - 2 f '' [(1/2)-] = lim x ® (1/2) - f ''(x) = lim x ® (1/2) ( 2 ) = 2 Como f '' [(1/2)+] ¹ f '' [(1/2)-], no existe f ''(1/2)
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f '(x)dx = 
