Considera el sistema de ecuaciones lineales;

2x - y +z = 3,

x - y + z = 8,

3x - y +mz = -2m.

(a) Determina si existe y, en ese caso, calcula el valor del parámetro m para el cual los tres planos determinados por las ecuaciones del sistema se cortan en una línea recta.

(b) Halla la ecuación del plano que contienen a la recta determinada en el apartado anterior y pasa por el punto (2, 1, 3).

(a)

Para que se corten en una recta rango(A) = 2 = rango(A^*), con

, y

Para que rango(A) = 2, | A| = 0

= 1(-m + 1) = 0, de donde m = 1.

Para que rango(A^*) = 2, el siguiente menor tiene que ser cero.

= 1(2m + 3 - 5) = (2m - 2) = 0, de donde m = 1.

Como ambos valores coinciden para m = 1, los tres planos se cortan en una recta, que es

2x - y +z = 3,

x - y + z = 8,

pues lo único que hemos hecho ha sido suprimir la tercera ecuación.

(b)

Para formar el plano de la recta tomamos un punto A y un vector director, y el otro vector paralelo del plano será AM, con M(2, 1, 3).

Para el punto A tomo z = 1, cono lo cual me queda

2x - y = 2,

x - y = 7,

resolviendo este sistema obtengo x = - 5 e y = -12, es decir A(-5,-12,1)

= i(-1+1) - j(2-1) + k(-2+1) = (0,-1-1)

AM = (7,13,2)

Luego el plano pedido es

= (x+5)(-2+13) - (y+12)(7) + (z-1)(7) = 11x - 7y + 7z - 36 = 0