Cuatro puntos A, B, C y D tienen las siguientes coordenadas: A = (1, 2, 3), B = (0, 1, -2), C = (3, 1, 0) y D = (m, -1, 4).

(a) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre una línea recta? En caso afirmativo, determina dicha recta; en caso negativo, di porqué no están alineados..

(b) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre un plano? En caso afirmativo, determina dicho plano; en caso negativo, di porqué no son coplanarios.

(c) Para m = 2, ¿determinan estos cuatro puntos un tetraedro? En caso afirmativo, calcula el volumen de dicho tetraedro; en caso negativo, di porque no lo determinan.

(a)

Si los cuatro puntos están alineados los vectores AB, AC y AD son dependientes y det(AB,AC,AD) = 0

AB = (-1,-1,-5)

AC = (2,-1,-3)

AD = (m -1, -3,1)

det(AB,AC,AD) =

= -1(-1-9) +1(-1+5m-5) -5(-6+m-1) = 39 ¹ 0, luego los cuatro puntos no están en una recta.

(b)

Con los puntos A, B y C formo un plano P tomando como punto A y como vectores paralelos AB y AC. Después fuerzo a que el punto D pertenezca al plano

A = (1, 2, 3,), AB = (-1,-1,-5), AC = (2,-1,-3)

= (x - 1)(3-5) - (y - 2)(3+10) + (z - 3)(1+2) = -2x - 10y + 3z + 13 = 0

Como D Î P , -2(m) + 10 + 12 + 13 = 0, de donde m = 35/2 para que D Î P ,

(c)

Hemos visto en el apartado (b) que para m = 35/2 D Î P , y no puede formarse un tetraedro, luego si m = 2, D Ï P , y los cuatro puntos forman un tetraedro.

Sabemos que su volumen es V = 1/6 ½ [ AB, AC , AD ]½

AB = (-1,-1,-5) , AC = (2,-1,-3) , AD = (m -1, -3,1) = (1,-3,1)

V = 1/6 ½ [ AB, AC , AD ]½ =

= 1/6| (-1)(-16)| = 16/6 = 8/3 u.v.