Sea f : (-p , p ) la función derivable que para x ¹ 0 verifica f(x) = [Ln(1+x²)/sen(x)] , siendo Ln(t) el logaritmo neperiano de t.

(a) ¿Cuanto vale f(0)?

(b) ¿Cuanto vale f '(0)?

(a)

Supongo que f(0) será el verdadero valor de la función en x = 0, es decir lim _{x ® 0} f(x).

f(0) = lim _{x ® 0} f(x) = lim _{x ® 0} [Ln(1+x²)/sen(x)] = ((0 / 0)) , aplicamos la regla de L'Hôpital

= lim _{x ® 0} {[2x(1+x²)]/cos(x)} = lim _{x ® 0} [2x / (1+x²).cos(x)] = 0 / 1.1 = 0 /1 = 0.

(b)

f '(0) = lim _{h ® 0} [f(0+h) - f(0)] / h = lim _{x ® 0} [f(h) /h] =

le aplicamos la regla de L'Hôpital

le aplicamos la regla de L'Hôpital

= 2 / ( 0+1.(1+1)) = 2 / 2 = 1