(a) Halla el área del triángulo formado por el eje OX y las rectas tangentes y normal a la curva de ecuación y = e^{- x} en el punto de abcisa x = -1.

(b) Halla el área de la región limitada por la curva de ecuación y = e^{- x} y el eje OX para los valores -1 £ x £ 0.

(a)

La gráfica es

La función f(x) = e ^-x está en rojo.

Su recta tangente en x = -1 es y - f(-1) = f '(-1)(x + 1)

Como f '(x) = - e ^-x, f(-1) = e¹ y f '(-1) = -e¹ la recta tangente es y - e = - e.(x + 1) (en verde)

Su recta normal en x = -1 es y - f(-1) = [ -1 /f '(-1)] (x + 1), es decir y - e = (1/e).(x + 1) (en granate)

El área del triángulo pedido es 1/2 de la base por la altura. La base es la distancia del origen de coordenadas al punto de corte de la recta normal con el eje de abcisas, que se obtiene haciendo y = 0 en la ecuación de la recta normal, es decir 0 - e = (1/e).(x + 1). Despejando obtenemos x = -(1 + e²), luego la base del triángulo es (1 + e²).

La altura del triángulo es f(-1) = e ^-(-1) = e, luego

Área del triángulo = 1/2.base.altura = 1/2.(1 + e²).e u.a.

(b)

La otra área pedida es

= (-e⁰) - (-e¹) = -1 + e u.a.