Se sabe que la función f : Â ® Â dada por:

es derivable en todo su dominio y que en los puntos x = 0 y x = 4 toma el mismo valor.

(a) Halla a, b y c..

(b) Calcula

(a)

Como la función es derivable en todo su dominio, también lo es en x = 1, y además es continua en x = 1. Nos dan además que f(0) = f(4)

Como existe f '(1), tenemos que f '(1 ⁺) = f '(1 ^-)

f '(1 ⁺) = lim _{x ® 1 +} f '(x) = lim _{x ® 1} (c) = c

f '(1 ^-) = lim _{x ® 1 -} f '(x) = lim _{x ® 1} ( 2x + a) = 2 + a

Como f '(1 ⁺) = f '(1 ^-), tenemos que

c = 2 + a

Como es continua en x = 1

f(1) = lim _{x ® 1 -} f (x) = lim _{x ® 1 -} f (x)

lim _{x ® 1 -} f (x) = lim _{x ® 1} ( x² + ax + b ) = 1 + a + b

lim _{x ® 1 +} f (x) = lim _{x ® 1} (cx) = c

Como los límites son iguales tenemos

c = 1 + a + b

De f (0) = f ( 4), tenemos f(0) = b = 4c = f(4)

Resolviendo este sistema

c = 2 + a

c = 1 + a + b

b = 4c

Obtenemos a = -7/4, b = 1 y c = 1/4

Con lo cual la función dada es

=

(b)

= 1/3 - 7/8 +1 + ( 1/2 - 1/8) = 5/6