Halla la ecuación de una circunferencia sabiendo que su centro está en la recta de ecuación y = x+1, que es tangente a la recta y = x, y que también es tangente a la recta y = 0.

La ecuación de una circunferencia de centro (a,b) y radio r es (x - a)² + (y - b)² = r².

Como me dicen que el centro está en la recta y = x+ 1, tengo que b = a + 1.

Como me dicen que es tangente a la recta y = 0, que es el eje de abcisas, y sabiendo que el radio es perpendicular en el punto de tangencia, resulta que la ordenada en ese punto de tangencia que es b coincide con el radio, es decir b = a + 1 = r.

Como me dicen que es tangente a la recta y = x, y el centro está en la recta y = x + 1 , que es paralela a la anterior, resulta por otro lado que el radio r es la distancia entre las rectas paralelas sº y = x e tº y = x+1, luego

recordando la fórmula de la distancia entre dos rectas paralelas sº mx+ny+p=0 y tº m'x+n'y+p'=0

Tenemos por tanto

De donde

Por tanto la ecuación de la circunferencia pedida es

Una gráfica de ello sería

donde la recta donde está el centro está en azul, la recta y = x en rojo