Dados los puntos A = (1,0,1), B=(0,0,-1) y C=(3, a , b ), se pide:

(a) Determina, si es posible, a y b de forma que los tres puntos estén alineados.

(b) Encuentra, si existe, un punto Q situado en el eje OY y tal que el triángulo ABQ sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en B.

(c) Si D es el punto D=(2,0,-2), prueba que el triángulo ABD es rectángulo y calcula su área.

A = (1,0,1), B=(0,0,-1) y C=(3, a , b ),

(a)

Si A, B, C están alineados entonces , con lo cual las componentes de los vectores son proporcionales.

,

de donde obtenemos a = 0 y b = 5

(b)

Si Q está situado en el eje OY, es de la forma Q(0,y,0). Si el triángulo ABQ sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en B, los vectores BA y BQ son perpendiculares con lo cual su producto escalar es cero.

BA = (1,0,2) , BQ = (0,y,0) por tanto BA· BQ = 0 +0 +2 ¹ 0, por tanto no existe ningún punto Q que cumpla esas condiciones.

(c)

El triángulo ABD es rectángulo, con D=(2,0,-2) si y solo si los vectores BA y BD son perpendiculares, es decir BA· BD = 0, pero BA = (1,0,2), BD = (2,0,-1) y BA· BD = 2 + 0 - 2 = 0.

Como es un triángulo rectángulo el área es 1/2 de careto por cateto, por tanto