(a) Para los diferentes valores del parámetro real a estudia la posición relativa de los planos dados por:

P ₁ : x+y+z = a-1

P ₂ : 2x+y+az = a

P ₃ : x+ay+z = 1

(b) si a = - 1, ¿en qué punto se cortan?

(a)

Sean A y A* la matriz de os coeficientes y la matriz ampliada del sistema

y

Si | A| ¹ 0, el sistema tiene solución única

= 1. (- (a - 2)(a -1) )

Si a ¹ 2 y a ¹ 1, el sistema tiene solución única, y los tres planos se cortan en un punto.

Si a = 2

Tenemos | A| = 0, y como , rango (A) = 2

En A*, , por tanto rango(A*) = 2

Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs rango(A) = rango(A*), el sistema tiene solución, y los tres planos se cortan en una recta. Además un plano depende de los otros dos.

Si a = 1

Tenemos | A| = 0, y como , rango (A) = 2

En A*, , por tanto rango(A*) = 3

Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A) ¹ rango(A*), el sistema no tiene solución, y tenemos dos planos paralelos cortados por el otro.

(b)

Si a = -1, nuestro sistema es

x+y+z=-2

2x+y-z=-1

x-y+z=1

Operando con las ecuaciones tenemos

x+y+z=-2

0-y-3z=3

0-2y+0=3

y sus soluciones son y = -3/2, z = -1/2, x = 0. por tanto los tres planos se cortan en el punto (x,y,z) = (0,-3/2,-1/2)