| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 1 de 1997 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 1 de 1997 |
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De una función f se sabe que es polinómica de tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos x = 3 y x = - 1 son nulas, que f(2) = 5, que f(1) = 2 y que lim x ® - ¥ f(x) = + ¥ . Haz un esbozo de la gráfica de f sin realizar ningún cálculo justificando como lo haces a partir de los datos
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Solución |
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(a) Como f(x) es de tercer grado es de la forma f(x) = ax3 + bx2 +cx +d Como me dicen que f ' (-1) = 0 y f ' (3) = 0, me están diciendo que x = -1 y x = 3 son posibles máximos o mínimos de f(x). Al decirme que lim x® + ¥ f(x) = + ¥ me están diciendo que la función viene desde + ¥ , que el coeficiente de x3, a es negativo, y como es de tercer grado la función vale - ¥ en + ¥ . Al decirme que f(1) = 2 y que f(2) = 5, como en x = 3 hay un posible máximo o mínimo, veo que va creciendo y como en + ¥ vale - ¥ . En x = 3 hay un máximo y en x = -1 un mínimo. Por tanto un esbozo de la gráfica sería:
La función se puede calcular, y lo vamos a hacer aunque no lo pidan: f(x) = ax3 + bx2 +cx +d f ' (x) = 3ax2 + 2bx +c De f(2) = 5 y f(1) = 2 , sustituyendo en f(x) obtenemos: 2 = a + b +c + d 5 = 8a + 4b + 2c + d De f ' (-1) = 0 y f ' (3) = 0 , sustituyendo en f ' (x) obtenemos: 0 = 3a -2b + c 0 = 27a + 6b + c Resolviendo estas cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas se obtiene a = -3/11, b = 9/11, c = 27/11, d = -11/11= -1 y la función es f(x) = -3/11x3 + 9/11x2 + 27/11x - 1
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